Неотвечаемые вопросы. Мерная линейка

Эдуард Шифрин 20 июня 2018
Поделиться

Монография Эдуарда Шифрина под названием «От бесконечности до человека», только что вышедшая в издательстве «Книжники», написана на актуальном в современном гуманитарном знании пересечении разных сфер: в данном случае науки и еврейской традиции. Автор интерпретирует такие глобальные темы, как зарождение жизни на Земле, теории Большого взрыва и т. п., одновременно привлекая самые современные научные знания по биологии, химии и физике, а также каббалистические представления и категории, постулаты иудаизма. В таком подходе есть полифония взгляда на мир интеллектуала и соблюдающего еврея, попытка цельной, гармоничной картины мира современного человека, включающая знание Торы и достижения теории информации, классической и квантовой физики, других наук. Предлагаем вниманию читателей фрагменты из нового издания.

В своей книге «Что мы не можем знать?» профессор математики Оксфордского университета Маркус дю Сотой задается вопросом: «Есть ли такие вещи, которые наука не сможет познать никогда?»

В этой же книге он дает интересное определение атеиста. По мнению Маркуса дю Сотоя, атеист считает, что мы можем познать все, верующий же человек считает, что у нашего знания есть граница См.: Du Sautoy Marcus. What We Cannot Know. 2016.
.

В XIX веке французский ученый Эмиль дю Рейнольд сформулировал следующие вопросы, на которые не было ответа.

 

1. Природа материи и сил.

2. Происхождение движения.

3. Происхождение жизни.

4. Теологический порядок в природе.

5. Происхождение простых ощущений.

6. Происхождение интеллекта и языка.

7. Вопрос свободы воли.

 

Ранее великий философ и математик Лейбниц свел эти вопросы к одному: «Почему существует что‑то, а не ничего?»

В этой главе будет предпринята попытка дать ответ на два вопроса.

Существуют ли в нашем реальном мире бесконечные величины и бесконечный регресс?

Что было до Большого взрыва?

Бесконечности

Основой научного метода является нахождение математической связи между явлениями А и В и дальнейшая ее экстраполяция. Что касается объяснений, то существуют два варианта: либо наука не знает, почему произошло явление А, либо дается объяснение, что явление А произошло вследствие явления С. Однако явление С тоже требует объяснения. В данном случае мы имеем бесконечный регресс, однако если мы докажем, что в нашем реальном мире бесконечного регресса не существует, то, идя по цепочке причин и следствий, мы придем к причине причин, то есть к Б‑гу.

В своей книге «Путеводитель растерянных» Маймонид постулировал отсутствие бесконечных величин в нашем реальном мире. Он писал: «Не существует бесконечной величины, и нет бесконечного количества конечных величин». Такого же мнения придерживался и Саадья Гаон.

Во втором томе книги Тора ор Алтер Ребе пишет о понятии мерная линейка (буцина де‑кардунита), которая является корнем сфиры Хохма в мире Ацилут. При этом Алтер Ребе, ссылаясь на изречения из Теилим: «Все мудростью (Хохмой) сотворил Ты» (Теилим, 104:24) и слова Йешаяу: «Кто измерил воды горстью своей?» (Йешаяу, 40:12), намекает, что все в нашем мире отмерено Всевышним, и, таким образом, он конечен См.: Рабби Шнеур‑Залман из Ляд. Тора Ор. Т. 2. М.: Книжники, 2016. .

Галилео Галилей писал: «Трудности в изучении бесконечности появляются потому, что мы пытаемся нашим конечным разумом обсуждать бесконечное, придавая ему свойства, которые мы придаем ограниченным и конечным явлениям. Но это неправильно, так как мы не можем спорить о бесконечностях, говоря о том, что они больше, меньше, или равны чему‑то». Великий математик Фридрих Гаусс писал: «Я протестую против использования бесконечных величин, как чего‑то законченного, что никогда не позволительно в математике».

Принципиально важно понимать различие между чисто математической абстракцией и нашим реальным миром. Например, какое бы число мы ни придумали, к нему всегда можно прибавить единицу и получить большее число. Однако в реальности самое большое число, которое мы можем записать, ограничено количеством частиц во вселенной. Кто‑то может сказать, что число необязательно записывать, его можно придумывать, но и в данном случае максимальное число, которое мы можем придумать, ограничено либо временем нашей жизни, либо ресурсом компьютера.

Около двух с половиной тысяч лет назад Зенон, ученик философа Парменида, выдвинул свои знаменитые парадоксы: «Дихотомия», «Ахиллес и черепаха», «Летящая стрела» (интересующийся читатель может легко найти их в интернете), которые до сих пор не имеют четкого обьяснения.

Суть парадоксов Зенона сводилась к тому, что желающий преодолеть отрезок от нуля до единицы, должен сначала достичь половины отрезка, затем половины от половины и так до бесконечности, то есть идущий должен выполнить бесконечное количество операций в конечное время. Тем самым Зенон показывал, что движение никогда нельзя закончить, его даже нельзя начать. Очень важно понимать, что при решении парадоксов Зенона следует отличать чистую математическую абстракцию от реальных пространства и времени.

Зенон. Рисунок. 1962

Идеи Зенона разделили ученых Древней Греции на атомистов и сторонников континуума См.: Bell John L. Continuity and Infinitesimals. Stanford Encyclopedia of Philosophy. (https://plato.stanford.edu/
. Это разделение продолжается и до сих пор. Сторонником континуума был Аристотель, сторонниками атомизма были Демокрит и Лейцип. Сторонники континуума утверждали, что между двумя любыми точками, бесконечно близко расположенными друг к другу, всегда существует как минимум еще одна точка. Атомисты утверждали принцип дискретности, то есть наличие минимального неделимого отрезка.

Сторонники дискретности приводили аргумент о том, что в результате бесконечного деления образуются безразмерные точки, из которых нельзя сложить целое. Сторонники континуума, в частности Джон Дан Скотт, выдвинули тезис о том, что при принятии дискретности нарушается теорема Пифагора.

Великий ученый и мыслитель Николай Кузанский утверждал, что в идеальном случае (абстрактном) бесконечное деление существует, однако реальный мир дискретен, то есть у пространства и времени существуют минимальные неделимые величины. Однако в XVI веке, в связи с началом научной революции, ученым понадобились практические математические инструменты для физических расчетов. В связи с этим Иоганн Кеплер Иоганн Кеплер (1571–1630) — немецкий математик, астроном, механик, оптик, первооткрыватель законов движения планет Солнечной системы.
ввел понятие бесконечно малых величин для расчета движения планет. Понятие бесконечно малых величин было усовершенствовано Кавальери, учеником Галилея. В своих расчетах их использовал Рене Декарт Рене Декарт (1596–1650) — французский философ, математик, механик, физик и физиолог, создатель аналитической геометрии и современной алгебраической символики, автор метода радикального сомнения в философии, механицизма в физике.
. В дальнейшем на основе понятий бесконечно малой величины Ньютон и Лейбниц разработали дифференциальное исчисление. Данный подход назывался математическим атомизмом.

Само по себе видение бесконечной величины обладало некоторой двусмысленностью. С одной стороны, бесконечно малая, с другой стороны, все‑таки величина. Более того, отношение двух бесконечно малых величин (производная) является вполне реальным числом. Важным фактом является то, что бесконечно малые величины применяются в физических расчетах и сейчас.

С философской точки зрения бесконечно малые величины являлись компромиссом между континуумом и дискретностью. Однако больше говорят об атомизме.

В XIХ веке математики Коши Огюстен Коши (1789–1857) — французский математик и механик, член Парижской академии наук, Лондонского королевского общества, Петербургской академии наук и других академий. Разработал фундамент математического анализа, внес огромный вклад в анализ, алгебру, математическую физику и многие другие области математики; один из основоположников механики сплошных сред. Его имя внесено в список величайших ученых Франции, помещенный на первом этаже Эйфелевой башни.
, Дедекинд Юлиус Дедекинд (1831–1916) — немецкий математик, известный работами по общей алгебре и основаниям вещественных чисел.
, Вейерштрасс Карл Вейерштрасс (1815–1897) — немецкий математик, «отец современного анализа».
и Кантор Георг Кантор (1845–1918) — немецкий математик, ученик Вейерштрасса. Наиболее известен как создатель теории множеств. Основатель и первый президент Германского математического общества, инициатор создания Международного конгресса математиков. начали работать с бесконечностями. Коши ввел понятие считаемых и несчитаемых бесконечностей и понятие предела. Кантор разработал теорию сравнения различных бесконечностей. Таким образом, считалось, что, введя понятие предела, к которому стремится сумма бесконечного количества конечных величин, парадоксам Зенона найдено решение. Однако здесь опять следует отличать решение в плоскости математической абстракции от решения в пространстве и времени. Не все математики приняли методы Коши и Кантора. Следующий пример иллюстрирует неоднозначность работы с бесконечностью (Коши).

Запишем следующий бесконечный ряд: 1–1 + 1–1 +…

Его можно записать двумя способами:

 

1. (1–1) + (1–1) + … в данном случае результат бесконечного ряда ноль.

2. 1 — (1–1) — (1–1) — … в данном случае этот же ряд равняется единице.

 

Георг Кантор отрицал необходимость бесконечно малых величин в математике. Однако появившееся в XХ веке новое направление в математике, получившее название «Нестандартный анализ», восстановило бесконечно малые величины в своих правах.

В XХ веке парадоксы Зенона были переформулированы в т. н. суперзадачи (Supertasks) См.: Manchak John, Roberts Bryan W. Supertasks. Stanford Encyclopedia of Philosophy, 2016. (https://plato.stanford.edu/
. Понятие supertask сформулировал ученый логик Джозеф Томсон. Вопрос был поставлен следующим образом. Возможно ли выполнить суперзадачу, т. е. совершить бесконечное количество операций в течение конечного времени? Совершенно очевидно, если считать выполнением суперзадачи выполнение последнего шага, то суперзадача невыполнима. Таким образом, мы приходим к атомизму.

Однако остается вопрос:

— Что делать с нарушением теоремы Пифагора?

В XХ веке начало развиваться новое математическое направление «Дискретная геометрия». Основным его положением являлась дискретность. Так же дискретная геометрия ушла от чистой математической абстракции, было принято, что реальные точки имеют размер, а реальные линии — ширину. Предмет для обсуждения здесь очень обширен, однако коротко можно сказать, что, несмотря на свою неполную однозначность, методом дискретной геометрии было показано — в случае принятия существования неделимого отрезка пространства (ходона) и неделимого отрезка времени (хронона), теорема Пифагора не нарушается. В настоящее время дискретная геометрия активно применяется в теориях квантовой гравитации.

Однако на время вернемся к физике. В XVII веке великий ученый Лейбниц выдвинул свой знаменитый тезис о том, что «природа не делает прыжков». Современная наука это опровергает.

Ученые XIX века были озадачены парадоксом излучения черного тела. Согласно волновой непрерывной теории, черное тело должно было излучать бесконечное количество энергии, но это является абсурдом. Решение было найдено молодым немецким физиком Максом Планком, который показал, что, если принять дискретность (квантование излучения), теоретические расчеты показывают полное совпадение с экспериментом. В 1905 году Альберт Эйнштейн, используя принцип дискретности (квантования), объяснил фотоэлектрический эффект, за что ему была присвоена Нобелевская премия.

Философ науки Браун писал: «Учитывая решения парадоксов Зенона от Аристотеля и далее, неправильно считать, что мы достигли конца. Вполне возможно, что аргументы Зенона до конца останутся загадкой».

Учитывая вышесказанное, автор данной статьи стоит на позиции дискретности, атомизма и считает, что бесконечного деления и бесконечного регресса в нашем реальном мире не существует.

После обсуждения бесконечно малого перейдем к обсуждению бесконечно большого. В математике сингулярностью называется точка, в которой функция стремится к бесконечности. В реальном физическом мире ученые различают открытые и закрытые сингулярности. Открытые сингулярности (то есть приложение силы бесконечной величины) никто никогда не наблюдал. Большинство ученых считают, что открытых сингулярностей в нашем реальном мире не существует, так как приложение силы бесконечной величины привело бы к полному хаосу пространства и времени. К закрытым сингулярностям наука относит момент Большого взрыва, а также сингулярность в центре черной дыры.

Поясним это следующим образом. Когда тело (звезда) коллапсирует под воздействием собственной гравитации до размера радиуса Шварцшильда, свет теряет возможность покинуть пространство коллапсируемого тела, и ничто не может остановить дальнейший коллапс до точки сингулярности См.: Curiel Erik, Bokulich Peter. Singularities and Black Holes. Stanford Encyclopedia of Philosophy. (https://plato.stanford.edu/ . (Для нашего Солнца радиус Шварцшильда равен приблизительно 3 километрам, для планеты Земля — меньше 1 сантиметра.) Поверхность невозврата в пространстве черной дыры называется горизонтом события.

Данный вывод о наличии сингулярности в черной дыре следует из решений уравнений общей теории относительности Альберта Эйнштейна. Однако здесь существует некоторая проблема.

Современная наука затрудняется дать точное определение понятия сингулярности. С математической точки зрения сингулярность является коллапсом пространства и времени, возникает вопрос: «Что же находится в точке сингулярности?»

Существуют попытки описать сингулярность как точку «незаконченного пути». (Имеется в виду, что путь любой частицы, попавшей в сингулярность, прерывается, концепция недостающих точек в пространстве и времени, патология кривизны пространства и времени.) Однако все эти описания неточны и неполны.

В большинстве современных научных теорий считается, что вывод о наличии сингулярности в центре черной дыры показывает, что в данном случае общая теория относительности выходит за границы своего применения, и вывод о наличии сингулярности неправомерен.

Разрабатываемые в настоящее время теории квантовой гравитации, а также теория струн показывают, что ни в момент Большого взрыва, ни в центре черной дыры сингулярности не существует.

Основываясь на вышесказанном, автор данной книги считает, что в нашем реальном мире не существует бесконечно больших и бесконечно малых величин, бесконечного деления и бесконечного регресса.

Что произошло до Большого взрыва?

Согласно теории Большого взрыва, наша Вселенная образовалась из бесконечно горячей и бесконечно плотной точки около 14 млрд лет назад. Впервые концепцию Большого взрыва ввел католический священник Жорж Леметр, найдя решения уравнений общей теории относительности Эйнштейна. Наличие точки Большого взрыва подтверждается открытием микроволнового космического излучения и другими научными исследованиями.

На вопрос, что же было до того, существует множество вариантов ответа.

 

1. Ученый‑физик Стивен Хокинг сказал, что спрашивать о том, что было до Большого взрыва, все равно что спрашивать о том, что находится южнее Южного полюса. Подразумевается, что понятие «до» в данном случае неприменимо, так как момент Большого взрыва считается начальной точкой отсчета времени.

2. Математик из Кембриджа Роджер Пенроуз считает, что Большой взрыв является точкой в серии бесконечного количества «больших взрывов», которые проявляются в расширении и контракции Вселенной. Теория Пенроуза предполагает наличие бесконечного регресса.

3. Теория мембран предполагает, что Большой взрыв произошел в результате столкновений двух мембран, однако тогда вполне логично возникает вопрос об их возникновении.

4. Известный ученый космолог Александр Виленкин считает, что наша Вселенная произошла из ничего. На последнем мнении остановимся подробнее.

 

В главе «Тора и математика» автор показал, что иудаизм включает в себя две основные математические концепции: единицу (единственность Б‑га) и ноль (ничего). Единица и ноль являются способом кодирования информации. Впервые ноль как независимое число был введен в алгебру индийским математиком Брахмагуптой в VII веке н. э. В середине первого тысячелетия до новой эры пифагорейцы выдвинули идею о том, что наш мир состоит из чисел (т. е. информационного кода).

Страница из труда по астрономии Авраама бар Хии «Цурат а‑арец» («Форма земли»). XVI век.

В книге «Сефер Йецира», которую традиция приписывает нашему праотцу Аврааму, написано, что Всевышний создал наш мир из ничего посредством десяти сфирот (чисел) и двадцати двух букв еврейского алфавита. Заметим, что и буквы, и цифры также являются информационным кодом.

Из Торы мы знаем, что мир был создан десятью речениями Всевышнего. В современной теории информации эти речения можно описать как функциональные информационные команды.

Описание первородного греха, то есть съедение запретного плода, по моему мнению, является аллегорией. Реально же первородный грех — это нарушение запрета о получении информации о Добре и Зле. Заметим также, что жизнь основывается на информационном коде ДНК.

На вопрос, почему все физические константы нашей Вселенной идеально подходят для жизни (антропный принцип), существует два ответа.

 

1. Мы, верующие люди, говорим о том, что наш мир создан Всевышним.

2. Ученые выдвигают концепцию «множества миров», имея в виду, что существует бесконечное количество вселенных с произвольным набором физических констант, и нам «повезло» находиться во Вселенной с «правильным» набором физических величин.

 

По этому поводу стоит заметить следующее.

А.  Концепция множественности миров предполагает наличие бесконечности.

Б.  Концепция Б‑га для ученых так же недоказуема, как и концепция множественности миров, поэтому, исповедуя честный подход, следовало бы сказать, что обе эти концепции равновозможны.

 

Возвратимся к информации.

Теория информации зародилась в середине XX века и с тех пор превратилась в полноправную отрасль науки. Основателем ее был Клод Шеннон. За ней последовала теория квантовой информации. Важным фактом является ее отличие от классической теории информации, где требуется физический носитель. В квантовой теории информации физический носитель не требуется.

Тема эта очень обширна, детально ее рассмотреть автор попытается в отдельной главе, однако, учитывая вышесказанное, дадим следующий намек. Процесс разворачивания миров Всевышним от цимцума и до нашего материального мира можно сравнить с созданием и взаимодействием информационных пространств.

В настоящее время все больше и больше ученых‑физиков приходят к выводу, что общей основой нашей реальности является информация. Здесь можно привести множество интересных доказательств и идей, как каббалистических, так и научных, однако, повторюсь, автор попытается выразить это в отдельной статье.

Так можем ли мы познать все?

Для ответа на этот вопрос предлагаю вспомнить теорему великого математика Курта Гёделя, которая гласит, что в рамках системы аксиом правдивые утверждения о числах никогда не могут быть доказаны. Личное мнение автора (не претендующее на истину) следующее. Граница нашему познанию существует, мы не можем познать все, но должны идти путем процесса познания так, как будто этой границы нет. 

КОММЕНТАРИИ
Поделиться

Каббала и философия

Философия процесса, описывая отношения Б‑га и мира, стоит на позициях панентеизма. Панентеизм — это промежуточная позиция между пантеизмом и классическим теизмом. Для пантеизма мир идентичен Б‑гу, для классического теизма мир является внешним проявлением Б‑га. Для панентеизма мир — в Б‑ге.

Как что‑то возникает из ничего?

В книге я попытался показать, что мистическое (якобы антинаучное) течение в иудаизме на деле глубоко научно, а разделение иудаизма на философский и мистический по сути неверно. Проблема в том, что если философский иудаизм использовал научные идеи своего времени, то идеи мистического иудаизма опередили науку своего времени на столетия. И лишь сегодня, в XXI веке, мы начинаем понимать, что они глубоко научны.

Б‑жественное провидение

Решая физические уравнения, в которых начальные различия содержались в четвертом знаке после запятой, Лоренц обнаружил, что их результаты разительно отличаются друг от друга, могут развиться в два совершенно различных состояния. Сегодня открытие Лоренца описывается известной фразой о том, что взмах крыльев бабочки в Бразилии может привести к урагану в Техасе. Таким образом, наука доказывает, что творение — это единое целое, и мы предлагаем читателю вспомнить слова Бааль‑Шем‑Това о движении травинки.